CAFOP IA (2018) Mathématiques

On donne les nombres réels $A$ et $B$ tels que $A=2-3\sqrt5$ et $B=\frac{2-3\sqrt5}{49-12\sqrt5}$.

Calcule $A^2$.

Déduis-en que $B=\frac{1}{2-3\sqrt5}$.

Écris $B$ sans radical au dénominateur.

Soit la fonction $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, où $f(x)=\frac14x^2-9$ et $g(x)=\frac32x-9$.

Détermine la condition d’existence de $h(x)$.

Justifie que pour tout $x$ appartenant à l’ensemble de définition de $h(x)$, on a : $h(x)=\frac16x-1$.

L’unité de longueur est le centimètre. On donne : $BAC$ est un triangle rectangle en $A$ ; $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ ; $HC=2$ ; $BH=6$ ; $AC=4$.

Construis le triangle $BAC$.

Calcule l’aire de chacun des trois triangles obtenus après la construction.