CAFOP IA (2009) Mathématiques

On donne l’expression $A=(x-1)(x+1)-(x+1)^2$.

Factorise $A$.

Développe et réduis $A$.

Calcule la valeur numérique de $A$ pour $x=\sqrt{2}-1$.

L’unité est le centimètre. La figure $(F)$ est composée d’un trapèze rectangle $ABCD$ de hauteur $[AD]$, de grande base $[DC]$ et de petite base $[AB]$, ainsi que d’une droite $(\Delta)$ perpendiculaire à $(BC)$ en $C$. On donne $AD=2$, $DC=4$ et $AB=3$.

Reproduis en grandeur réelle la figure $(F)$.

Construis l’image de $(F)$ par la symétrie orthogonale d’axe $(BC)$ suivie de la symétrie orthogonale d’axe $(\Delta)$.

Au cours des opérations d’enrôlement et d’identification de la population en Côte d’Ivoire organisées par la Commission Électorale Indépendante (CEI), le chef du centre de collecte du village de Ménékré a fait le point à la fin de la journée de travail. $60$ personnes ont été enrôlées et réparties comme l’indique le diagramme circulaire : Cultivateurs $90^\circ$, Fonctionnaires $72^\circ$, Élèves $54^\circ$ et Ménagères $144^\circ$.

Dresse le tableau des effectifs.

Quel est le groupe qui s’est fait enrôler le plus ce jour-là ?

Calcule le pourcentage des ménagères qui se sont fait enrôler ce jour-là.

L’unité de longueur est le centimètre. $SABCD$ est une pyramide régulière de hauteur $[SG]$ et de base le carré $ABCD$. $[SH]$ est une hauteur du triangle $SAB$. On donne $AB=6$ et $SA=9$.

Justifie que $SH=6\sqrt{2}$.

Calcule l’aire latérale de cette pyramide.

L’unité est le centimètre. $(C)$ est le cercle de centre $O$ et de diamètre $[AB]$. $(C')$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $[AO]$. Les cercles $(C')$ et $(C)$ se coupent en $M$ et $N$. La droite $(MN)$ coupe $(AB)$ en $H$. La perpendiculaire à $(AB)$ passant par $A$ coupe $(BM)$ en $E$ et $(BN)$ en $F$. On donne $AB=8$ et $MN=2\sqrt{3}$.

Démontre que $ABM$ est un triangle rectangle en $M$.

Justifie que $BM=4\sqrt{3}$.

Démontre que les droites $(MH)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.

Déduis-en que les droites $(MN)$ et $(AE)$ sont parallèles.

Calcule $AE$.

Justifie que $BE=\frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Démontre que $\widehat{ABM}=30^\circ$.

Déduis-en la mesure de chacun des angles $\widehat{ANM}$ et $\widehat{AOM}$.

Démontre que $F$ est l’image de $E$ par la symétrie orthogonale d’axe $(AB)$.

Démontre que $BEF$ est un triangle équilatéral.