CAFOP IA (2021) Mathématiques

On donne : $A=\frac{4}{7+3\sqrt{5}}$ et $B=3\sqrt{5}-7$.

Écris $A$ avec un dénominateur rationnel.

Sachant que $k=(A-B)^2$, justifie que $\sqrt{k}=2A$.

Résous graphiquement le système $(I)$ de deux inéquations d’inconnues $x$ et $y$ : $\begin{cases}3x+7y>-7\\-3x+2y>-12\end{cases}$

L’unité est le centimètre. On ne te demande pas de reproduire la figure ci-contre, qui n’est pas en grandeurs réelles. $ABCDEFGH$ représente un cube de 6 cm d’arête.

Justifie que $ACH$ est un triangle équilatéral.

Calcule la distance $AC$.

Calcule l’aire du triangle $ACH$.

Sur la figure ci-contre qui n’est pas en vraies grandeurs : $(O,I,J)$ est un repère orthonormé. On donne les points $A(2;5)$, $B(2;1)$ et $D(-1;5)$. Le point $E$ est le centre du cercle $(C)$. Le cercle $(C)$ est circonscrit au triangle $ABD$. La droite $(T)$ est la tangente à $(C)$ au point $B$. Le point $F$ est le symétrique du point $A$ par rapport à la droite $(BD)$.

Démontre que le triangle $ABD$ est rectangle en $A$.

Calcule les coordonnées du point $E$, centre du cercle $(C)$.

Détermine une équation de la droite $(BD)$.

Détermine une équation de la tangente $(T)$.

Démontre que le point $F$ appartient au cercle $(C)$.