CAFOP IA (2012) Mathématiques

On donne $m=(5\sqrt7-7)-(3\sqrt7-2)$.

Écris $m$ sous la forme $a\sqrt7+b$ où $a$ et $b$ sont des entiers.

Sachant que $2{,}645<\sqrt7<2{,}646$, encadre le nombre $2\sqrt7-5$ par deux décimaux consécutifs d’ordre 2.

Construis un segment $[AB]$ de longueur $5$ cm sur ta feuille de copie.

Construis le point $M$ de la droite $(AB)$ tel que $\overrightarrow{AM}=-\frac23\overrightarrow{AB}$.

Donne ton programme de construction.

L’unité de longueur est le centimètre. Sur la figure qui n’est pas en vraie grandeur : $(C)$ est le cercle de centre $I$ et de diamètre $[BC]$ ; $A$ est un point du cercle $(C)$ ; $ABC$ est un triangle rectangle en $A$. On donne $AB=3$ ; $\mathrm{mes}\,\widehat{AIC}=60^\circ$ et $\tan30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$.

Justifie que $\mathrm{mes}\,\widehat{ABC}=30^\circ$.

Calcule $AC$.

L’unité de longueur est le centimètre. La figure n’est pas en vraie grandeur et n’est pas à reproduire. $SABCD$ est une pyramide régulière à base carrée $ABCD$ et de volume $V$. Une section de cette pyramide par un plan parallèle à sa base est le carré $A'B'C'D'$. On donne $V=1836\text{ cm}^3$ et $SB'=\frac23SB$.

Justifie que le volume $V'$ de la pyramide $SA'B'C'D'$ est $544\text{ cm}^3$.

Calcule le volume $V_T$ du tronc de cette pyramide.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O;I;J)$ : $T(1;2)$ et $R(-4;-2)$ ; la droite $(D)$ est la médiatrice du segment $[RT]$ ; le cercle $(C)$ a pour centre $T$ et pour rayon $RT$ ; la médiatrice $(D)$ coupe le cercle $(C)$ en deux points $M$ et $N$ ; la parallèle à $(RT)$ passant par $M$ coupe le cercle $(C)$ en $H$ ; $\sin30^\circ=\cos60^\circ=\frac12$.

Justifie que $A$, le milieu du segment $[TR]$, a pour coordonnées $\left(-\frac32;0\right)$.

Justifie qu’une équation de la médiatrice $(D)$ de $[TR]$ est $10x+8y+15=0$.

Justifie que $RT=\sqrt{41}$.

Démontre que $\mathrm{mes}\,\widehat{RTN}=60^\circ$.

Déduis-en $\mathrm{mes}\,\widehat{RMN}$.

Justifie que le quadrilatère $MATH$ est un trapèze rectangle.