CAFOP IA (2010) Mathématiques

On donne l’expression $A = 9(x-1)^2 - 16$ et la fraction rationnelle $Q = \frac{(3x+1)(3x-7)}{(2-x)(3x+1)}$.

Factorise $A$.

Pour quelles valeurs de la variable $x$ la fraction rationnelle $Q$ existe-t-elle ?

Simplifie la fraction rationnelle $Q$.

L’unité de longueur est le centimètre. La figure (F) est composée d’un triangle AEB rectangle isocèle en A et d’un demi-cercle (C) de centre O et de diamètre [EB]. On donne EA = 3.

Reproduis la figure (F).

Construis l’image de (F) par la translation de vecteur $\overrightarrow{EB}$ suivie de la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Le diagramme semi-circulaire ci-dessous donne la répartition de 60 jeunes d’un quartier selon leur profession.

Dresse le tableau des effectifs de cette série statistique.

Quel est le pourcentage des jeunes qui exercent dans la couture ? On donnera un arrondi du résultat à l’ordre 2.

L’unité de longueur est le centimètre. La figure représente en perspective cavalière un cône de révolution de base le disque de centre H et de rayon [HA]. Le point C est un point de la génératrice [SA]. Le plan passant par C et parallèle au plan de base du cône coupe [SH] en H’. On donne $\pi=3,14$, $CH'=3$, $AH=9$ et $SH=12$.

Justifie que $SH'=4$.

Justifie que le volume du petit cône est égal à $37,68\;cm^3$.

Calcule le volume du tronc de cône.

On ne demande pas de reproduire la figure sur la copie. Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$. On donne $A(5;5)$, $B(2;3)$, $C(4;0)$ et $K(\frac{9}{2};\frac{5}{2})$. La droite $(\Delta)$ a pour équation $2x-3y-\frac{3}{2}=0$. Le point D est tel que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Calcule le couple de coordonnées du point D.

Justifie que le triangle ABC est rectangle en B.

Justifie que K est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Calcule le rayon du cercle (C).

Justifie que la droite (BC) a pour équation $3x+2y-12=0$.

Justifie que le point $K$ appartient à la droite $(\Delta)$.

Démontre que $(\Delta)$ est la médiatrice du segment $[BC]$.

Justifie que $\cos(\widehat{BAC})=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Déduis-en la mesure en degrés de l’angle $\widehat{BAC}$.